解析函数的应用——平面静电场的电势分布与电场线族方程

在平面静电场没有电荷的区域,静电场的电势满足二维拉普拉斯方程。这样,对于电场所处区域上的某一解析函数:
$$
f\left( z \right) =u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right)
$$
其虚部或者实部可以被用来表示该区域上静电场的电势,我们称这一解析函数为该平面静电场的复势。

为方便起见,不妨设 $u\left( x,y \right)$为电势, $u\left( x,y \right) = C$ ($C$ 为常数) 为等势线族,相应的,由于解析函数的性质,$\nabla u$ 与 $\nabla v$ 正交,故 $v\left( x,y \right) = C$ 为电场线族。

下面举例说明,如何由等势线族方程求出复势。

已知等势线族的方程为“$x^2+y^2=c$”,求复势。

前文提到,等势线族的方程恰好也为 $u\left( x,y \right) = C$ 的形式,题目给出的方程似乎就是我们想要的“$u\left( x,y \right)$”,但这是错误的!因为$u\left( x,y \right)$必须是调和函数(即满足拉普拉斯方程),而题目给出的并非调和函数。

我们不妨设 $t=x^2+y^2$,来验证一下题中的方程是否为调和函数,有:
$$
\frac{\partial t}{\partial x}=2x,\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}=2
$$
$$
\frac{\partial t}{\partial y}=2y,\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=2
$$
由于 $\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}\ne 0$,故 $t$ 不是调和函数。

我们的目标正是需要确定一个调和函数,在此,既然题设函数不符合要求,我们可以通过对 $t$ 进行一个“$F$”变换来得到这个调和函数。

可以这么做的原因是,我们令 $F(t)$ 等于常数时(比如 $c_1$ ),解出来的 $x^2+y^2$ 的值仍为常数(比如 $c_2$ ),虽然这里的 $c_2$ 与原来题干中的 $c$ 不是同一个数,但它仍是常数,仍可以保证题干中的方程表示“曲线族”,因此并没有破坏题设条件。

我们可以设
$$
u=F\left( t \right) \ \ \left( t=x^2+y^2 \right)
$$
其中,$F(t)$ 是一个待定的函数。根据我们的预设,$u\left( x,y \right)$ 是调和函数,我们可以据此来确定出 $u$。有
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\cdot F’\left( t \right) ,\ \ \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=2F’\left( t \right) +2x\cdot F’’ \left( t \right) \cdot 2x
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=2y\cdot F’\left( t \right) ,\ \ \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=2F’\left( t \right) +2y\cdot F’’ \left( t \right) \cdot 2y
$$
将上式带入 $\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0$,可以得到
$$
\left( x^2+y^2 \right) F’’ \left( t \right) +F’\left( t \right) =0
$$
注意我们自己设立的条件:$t=x^2+y^2$,因此上式可以进一步化简为
$$
t\cdot F’’ \left( t \right) +F’\left( t \right) =0
$$

这是个微分方程,求解一下,可以得到
$$
F\left( t \right) =C_1\ln t+C_2
$$

点此展开求解过程 这是个不显含 $F$ 的二阶微分方程,令 $p=F'(t)$,则 $p'=F''(t)$。
方程可化为 $t\cdot p'+p=0$,即 $t\cdot \frac{dp}{dt}+p=0$。
分离变量得到 $\frac{dp}{p}=-\frac{dt}{t}$,两边积分得到 $ \ln p=-\ln t+C_1=\ln \frac{C}{t}$
等价于 $p=\frac{C}{t}$ ,即 $\frac{dF}{dt}=\frac{C}{t}\Longleftrightarrow dF=C\cdot \frac{dt}{t}$
两边积分可得 $F(t)=C_1\ln t+C_2$

至此,我们得到了所需的势函数
$$
u\left( x,y \right) =C_1\ln \left( x^2+y^2 \right) +C_2
$$
不要忘了,该实变函数是解析函数的实部,我们可以用它求解出虚部,进而得到复势。

由柯西-黎曼条件可得:
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2C_1x}{x^2+y^2}=\frac{\partial v}{\partial y}
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2C_1y}{x^2+y^2}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$

$$
dv=2C_1\cdot \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}
$$
凑一下微分
$$
dv=2C_1\cdot \frac{\frac{1}{x}dy-\frac{y}{x^2}dx}{1+\left( \frac{y}{x} \right) ^2}=2C_1\cdot \frac{d\left( \frac{y}{x} \right)}{1+\left( \frac{y}{x} \right) ^2}
$$

$$
v(x,y)=2C_1\cdot \arctan \frac{y}{x}+C_3
$$

至此,实部与虚部都求解完毕,我们可以写出解析函数了
$$
f\left( z \right) =C_1\ln \left( x^2+y^2 \right) +C_2+i\left( 2C_1\cdot \arctan \frac{y}{x}+C_3 \right)
$$
等价于
$$
f\left( z \right) =2C_1\ln \left( \rho \right) +i2C_1\varphi +iC_3+C_2
$$
最终结果为
$$
f\left( z \right) =2C_1\ln \left( z \right) +C_2+iC_3
$$
至此,复势求解完成。


( 本文也用作数学公式渲染效果测试 (`・ω・´) )